বীজগণিতীয় উৎপাদক(Algebraic Factor)
আমরা জানি মৌলিক সংখ্যাকে এক এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া অন্য কোন সংখ্যা দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য নয় ।তবে যৌগিক সংখ্যাকে এক এবং ঐ সংখ্যা ছাড়াও অন্য সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে নিঃশেষে বিভাজ্য হয়।যৌগিক সংখ্যাকে এক এবং ঐ সংখ্যা ছাড়াও একাধিক সংখ্যার গুণফল আকারে প্রকাশ করা যায়। যৌগিক সংখ্যার এক এবং ঐ সংখ্যা ছাড়াও অন্যান্য গুণনীয়ক আছে।
2=1✕2
3=1✕3
4=1✕4=2✕2
5=1✕5
6=1✕6=2✕3
এভাবে,
50=1✕50=1✕5✕10=1✕2✕25=1✕2✕5✕5
60=1✕60=1✕2✕30=1✕4✕15=1✕2✕3✕10=1✕2✕3✕2✕5
79=1✕79
80=1✕80=1✕2✕40=1✕2✕2✕20=1✕2✕2✕2✕10=1✕2✕2✕2✕2✕5
উপরোক্ত সংখ্যা গুলোর মধ্যে দেখা যাচ্ছে যে,4,6,50,60 ও 80 কে 1 এবং ঐ সংখ্যা ছাড়াও একাধিক সংখ্যার গুণফল আকারে প্রকাশ করা গিয়েছে। তাহলে মূল সংখ্যাকে যে সংখ্যাগুলোর গুণফল আকারে প্রকাশ করা গিয়েছে তাদেরকে মূল সংখ্যার উৎপাদক বা গুণনীয়ক বলে।
তাহলে বীজগণিতের ক্ষেত্রে বলা যায়,
যদি কোন বীজগাণিতিক রাশিকে একাধিক রাশির গুণফল আকারে প্রকাশ করা যায় তবে গুণফল আকারে প্রকাশিত প্রত্যেকটি রাশিকে প্রথম রাশির গুননীয়ক বা উৎপাদক বলে।
যেমনঃ50 এর উৎপাদক 2,5,10,25।তাহলে 50 এর উৎপাদক চারটি।
$$1.a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$
$$2.a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$
$$3.a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$ উৎপাদকের সূত্র।
তাহলে কোন রাশিকে উৎপাদক আকারে প্রকাশ করতে হলে ঐ রাশিটিকে একাধিক রাশির গুণফল আকারে প্রকাশ করতে পারলেই তবে রাশিটি উৎপাদক আকারে প্রকাশিত হবে।
কোন রাশিকে উৎপাদক আকারে প্রকাশ করতে হলে প্রথমে সম্পূর্ণ রাশিটি থেকে দেখতে হবে কোন রাশি বা পদ দ্বারা সম্পূর্ণ রাশিকে ভাগ করা যায় কিনা।
$$3x^3-5x^2-x$$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হলে প্রথমেই x ধারা ভাগ করতে হবে কারণ সম্পূর্ণ রাশিটিকে x দ্বারা ভাগ যায়।
$$3x^3-5x^2-x$$
$$=x(3x^2-5x-1)$$
এখন আমরা এই সূত্রগুলো সাহায্যে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করবো -
$$px^2-4px+pxy-4py$$
$$=p(x^2-4x+xy-4y)$$
$$=p[x(x-4)+y(x-4)]$$
$$=p(x-4)(x+y)$$
উপরোক্ত উৎপাদকের ব্যাখ্যা:
প্রশ্নে দেখা যাচ্ছে যে প্রত্যেকটা পদের মধ্যে p রয়েছে, এজন্য প্রথম লাইন থেকে p কমন নেওয়া হয়েছে। যেহেতু p কমন নেওয়ার পরে রাশির মধ্যে আর কোন কিছু কমন যায় না, এজন্য প্রথম দুইটা পদ থেকে x এবং পরের দুইটা পদ থেকে y কমন নেওয়া হয়েছে। তৃতীয় লাইনে দ্বিতীয় বন্ধনী ব্যবহার করা হয়েছে কারণ p সম্পূর্ণ রাশি থেকে কমন এসেছে। তৃতীয় লাইনে x-4 দুইটা থেকে একটা কমন এসেছে। x-4 কমন নেওয়ার পরে বাকি থাকে x ও +y যা x+y আকারে গুণ আকারে বসেছে।
তাই উৎপাদকের সমাধানঃp(x-4)(x+y)
উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর:$$m^2p^2-36m^4$$
$$=m^2(p^2-36m^2)$$
$$=m^2[p^2-(6m)^2]$$
$$=m^2(p+6m)(p-6m)$$
$$3x^4-24x$$কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।
প্রদত্ত রাশিঃ$$3x^4-24x$$
$$=3x(x^3-8)$$
$$=3x(x^3-2^3)$$
$$=3x(x-2)(x^2+x.2+2^2)$$
$$=3x(x-2)(x^2+2x+4)$$
$$a^2-c^2+b^2+2ab$$কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।
প্রদত্ত রাশিঃ$$a^2-c^2+b^2+2ab$$
$$=a^2+2ab+b^2-c^2$$
$$=(a+b)^2-c^2$$
$$=(a+b+c)(a+b-c)$$
নিজে করঃ
- $$81a^2-9b^2$$
- $$py^3+pz^3$$
- $$p^2-q^2-2qr-r^2$$
- $$2xy^3-16xz^6$$
মন্তব্যসমূহ