দ্বি মানে দুই আর ঘাত মানে শক্তি,পাওয়ার, সূচক তাহলে দ্বিঘাত সমীকরণ মানে হচ্ছে যে সমীকরণের চলকের পাওয়ার সর্বোচ্চ দুই সেটি হচ্ছে দ্বিঘাত সমীকরণ।
এই সমীকরণে চলক একটি থাকে। তাহলে বলা যায়, এক চলক বিশিষ্ট যে সমীকরণে চলকের সর্বোচ্চ পাওয়ার 2 তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলে।
যেমনঃ$$2x^2+5x+2=0$$
$$-9x+4x^2+3=0$$
$$7p^2+8p+3=0$$
একটি আদর্শ দ্বিঘাত সমীকরণ ঃ$$ax^2+bx+c=0$$ যেখানে,x চলক ও a,b,c ধ্রবক এবং a≠0,অর্থাৎ a এর মান শূণ্য নয়।
a এর মান যদি শূন্য হয় তাহলে সমীকরণটি হবে $$0✕x^2+bx+c=0$$
$$⇒0+bx+c=0$$
$$⇒bx+c=0$$
যা আর দ্বিঘাত সমীকরণ থাকে না।তখন এটি এক চলক বিশিষ্ট সরল সমীকরণের রূপান্তরিত হয় ।তাই a এর মান কখনোই 0 হতে পারবেনা।
এখন আমরা আদর্শ দ্বিঘাত সমীকরণ $$ax^2+bx+c=0$$ কে সমাধান করব।
সমাধানঃপ্রদত্ত সমীকরণ
$$ax^2+bx+c=0$$ এই সমীকরণে x এর পাওয়ার হচ্ছে 2. তাহলে আমাদেরকে $$x^2$$ এর সাথে যে a আছে হয় এর উপর পাওয়ার টু নিয়ে আসতে হবে অথবা a কে এখান থেকে সরিয়ে দিতে হবে।এজন্য উক্ত সমীকরণকে হয় a দিয়ে ভাগ করতে হবে অথবা a দ্বারা গুণ করতে হবে।
প্রথমে গুণ পদ্ধতিতে করব এরপরে ভাগ পদ্ধতিতে করব ।
গুণ পদ্ধতিঃ
প্রদত্ত সমীকরণ
$$ax^2+bx+c=0$$
ভাগ পদ্ধতিঃ
প্রদত্ত সমীকরণ
$$ax^2+bx+c=0$$
তাহলে সমীকরণের সমাধান হতে দেখা যাচ্ছে যে,দ্বিঘাত সমীকরণ এর মূল সর্বদা দুইটি।
বিকল্প পদ্ধতিতে আদর্শ দ্বিঘাত সমীকরণ এর সমাধানঃ
সমীকরণের সমাধানঃআদর্শ দ্বিঘাত সমীকরণ এর সাহায্যে$$5x^2-12x+7=0$$সমীকরণকে সমাধান কর।
সমাধানঃ$$5x^2-12x+7=0$$সমীকরণকে আদর্শ দ্বিঘাত সমীকরণ $$ax^2+bx+c=0$$ এর সাথে তুলনা করে পাই,
a=5
b=-12
c=7
একটি আদর্শ দ্বিঘাত সমীকরণকে পূর্ণাঙ্গ সমাধানের পূর্বেই সমীকরণটির মূল কেমন হবে তা জানা যায় ।এর জন্য প্রথমেই সমীকরণটির নিশ্চায়ক বের করতে হবে। নিশ্চয়তা থেকে জানা যাবে সমীকরণটির মূল দুইটির প্রকৃতি, ধরণ ।আদর্শ দ্বিঘাত সমীকরণের $$b^2-4ac$$ কে নিশ্চায়ক বলে। নিশ্চায়ক একটি আদর্শ দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়ের ধরণ ও প্রকৃতি বিশ্লেষণ করে।
$$-9x+4x^2+3=0$$ সমীকরণের মূলদ্বয়ের ধরণ ও প্রকৃতি বিশ্লেষণ কর।
$$-9x+4x^2+3=0$$⇒$$4x^2-9x+3=0$$ সমীকরণকে আদর্শ দ্বিঘাত সমীকরণ $$ax^2+bx+c=0$$ এর সাথে তুলনা করে পাই,
a=4
b=-9
c=3
যেহেতু সমীকরণটির নিশ্চায়ক শূন্য থেকে বড় এবং পূর্ণবর্গ না তাই সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
তাহলে একটি সমীকরণের মূলধন কখন কি হবে তা আমরা জানতে পারি যদি-
১। সমীকরণের নিশ্চায়ক শূন্য হলে মূলদ্বয় বাস্তব, সমান ও মূলদ হবে।
২। সমীকরণের নিশ্চায়ক শূন্য থেকে বড় এবং পূর্ণবর্গ হলে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
৩। সমীকরণের নিশ্চায়ক শূন্য থেকে বড় এবং পূর্ণবর্গ না হলে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
৪। সমীকরণের নিশ্চায়ক শূন্য থেকে ছোট হলে তবে মূলদ্বয় অবাস্তব হবে।
চর্চা করার জন্য-
নিম্নোক্ত সমীকরণ সমূহের মূলসমূহ কেমন হবে নিশ্চায়কের সাহায্যে নির্ণয় করে সমাধান করো-
$$1.-x^2-1+4x=0$$
$$2.-5x^2+3x-4=0$$
$$3.x^2-12x+36=0$$
মন্তব্যসমূহ