মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা (rational and irrational numbers)

-

 মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা (rational and irrational numbers):

ভূমিকা:গণিতের অন্যতম আলোচ্য বিষয় সংখ্যা পদ্ধতি। এই সংখ্যা পদ্ধতির একটি  অংশ হলো “মূলদ সংখ্যা (rational numbers)”এবং “অমূলদ সংখ্যা (irrational numbers)”।

মূলদ সংখ্যা:যে সকল সংখ্যাকে দুটি পূর্ণ সংখ্যার ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে হর ≠0 অর্থাৎ হরের মান শূন্য এর সমান নয় তাদের মূলদ সংখ্যা বলা হয়।

আরও সহজভাবে বললে,যেসব সংখ্যাকে দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত বা ভগ্নাংশরূপে প্রকাশ করা যায়, তাদেরকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়।

গণিতের ভাষায়, যদি কোনো সংখ্যাকে $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা সম্ভব হয়,যেখানে p এবং q উভয়েই পূর্ণসংখ্যা (0,士1,士2,士3,士4,士5,士6,......) এবং q এর মান কখনো শূন্য হতে পারবে না অর্থাৎ q ≠0 তবে তাকে মূলদ সংখ্যা বলে।

মূলদ সংখ্যার উদাহরণ:

$\frac{2}{3}$

$\frac{3}{2}$

$\frac{6}{7}$

$\frac{-7}{6}$

$0$

$5$

$2.45$

$11.363636363636........$

আমরা অনেকেই মনে করি শুধু ভগ্নাংশই মূলদ সংখ্যা কিন্তু উদাহরণ পর্যালোচনা করে দেখা যাচ্ছে যে,পূর্ণ সংখ্যা,সসীম দশমিক সংখ্যা,অসীম আবৃত্ত দশমিক সংখ্যা ও মূলদ সংখ্যা।

কি কি ধরনের সংখ্যা মূলদ সংখ্যাঃ

পূর্ণসংখ্যা:সকল পূর্ণ সংখ্যা মূলদ কারন পূর্ণ সংখ্যাকে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়।যেমনঃ আমরা 5 কে $\frac{5}{1}$ আকারে প্রকাশ করতে পারি।একইভাবে -6 কে$\frac{-6}{1}$ আকারে প্রকাশ করতে পারি। তাই সকল পূর্ণ সংখ্যা মূলদ।

সাধারণ ভগ্নাংশ:সকল সাধারণ ভগ্নাংশ মূলদ।যেমনঃ$\frac{5}{3}$,$\frac{8}{9}$,$\frac{-9}{4}$,$\frac{11}{-21}$,$\frac{15}{19}$ ইত্যাদি।

সসীম দশমিক সংখ্যা:যেসব সংখ্যার দশমিকের পর অঙ্ক সংখ্যা নির্দিষ্ট অর্থাৎ হিসেব করে শেষ করা যায় তাদেরকে সসীম দশমিক সংখ্যা বলে।আর এ সব সসীম দশমিক সংখ্যা মূলদ।যেমন:$2.45$,$0.459$,$120.984$,$76.72439046$ ইত্যাদি।

আবৃত বা পৌনঃপুনিক দশমিক সংখ্যা:দশমিকের পরে যদি একই বা একাধিক অঙ্ক বারবার আসে তবে তাকে আবৃত বা পৌনঃপুনিক দশমিক সংখ্যা বলে।সকল আবৃত বা পৌনঃপুনিক দশমিক সংখ্যা মূলদ।যেমনঃ\(4.\overline{68}\), \(0.\overline{576}\), \(10.\overline{2437}\) ইত্যাদি।

অমূলদ সংখ্যা:যে সকল সংখ্যাকে দুটি পূর্ণ সংখ্যার ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়না তাদের অমূলদ সংখ্যা বলা হয়।

আরও সহজভাবে বললে,যেসব সংখ্যাকে দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত বা ভগ্নাংশরূপে প্রকাশ করা যায়না,তাদেরকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়।

গণিতের ভাষায়, যদি কোনো সংখ্যাকে $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা অসম্ভব হয় তবে তাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়।এদের দশমিক মান অসীম হয় এবং কোনো নির্দিষ্ট অঙ্ক বারবার পুনরাবৃত্ত হয় না অর্থাৎ এরা চিরকাল এলোমেলোভাবে চলতেই থাকে।

কি কি ধরনের সংখ্যা মূলদ সংখ্যাঃ

পূর্ণবর্গ নয় এমন সংখ্যার বর্গমূল:$\sqrt{10}$,$\sqrt{8}$,$\sqrt{19}$,$\sqrt{82}$ ইত্যাদি।

পাই(π) এর মানঃযেকোনো বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাতকে বলা হয় পাই(π)।π এর মান $\frac{22}{7}$=3.141592653589793238462643383279502884197169399375..........

অয়লার এর সংখ্যা(Euler’s number):

e = 2.718281828459045235360287471352662497757247093699............

মূলদ ও অমূলদ সংখ্যার এর তুলনাঃ

মূলদ সংখ্যা

অমূলদ সংখ্যা

$\frac{p}{q}$আকারে লেখা যায়।

$\frac{p}{q}$ আকারে লেখা যায় না।

ভগ্নাংশে প্রকাশ করা যায়।

ভগ্নাংশে প্রকাশ করা যায় না।

দশমিক সসীম।

দশমিক অসীম।

কিছু প্রশ্ন ও উত্তর-

১। কি মূলদ সংখ্যা?হ্যাঁ।

২। সব পূর্ণ সংখ্যা কি মূলদ?হ্যাঁ।

৩। সব ভগ্নাংশ কি মূলদ?হ্যাঁ।

৪।π কেন মূলদ নয়?কারণ কারণ এটি $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায় না এবং এর দশমিক মান অসীম ও অনাবৃত।

৫। $\sqrt{10}$ কেন অমূলদ?কারণ এটি $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায় না।

৬।\(8.\overline{638}\) কি অমূলদ?না।

মন্তব্যসমূহ

একটি মন্তব্য পোস্ট করুন

এই ব্লগটি থেকে জনপ্রিয় পোস্টগুলি

অনুপাত ও সমানুপাত(Ratio and Proportion)

-
ছবি
অনুপাত ও সমানুপাত(Ratio and Proportion) একই জাতীয় দুটি রাশির মধ্যে তুলনাকে অনুপাত বলে।অর্থাৎ দুটি রাশির একক একই হবে।তাহলে আমরা বলতে পারি অনুপাত একটি ভগ্নাংশ। ধরা যাক,মিস্টার রহিম বাজার থেকে 5 কেজি চাল এবং 3 কেজি ডাল কিনলেন।এখানে চাল ও ডালের পরিমাণের মধ্যে যে তুলনা এই তুলনায় হচ্ছে অনুপাত। চাল ও ডালের পরিমানের অনুপাত=5 ∶3 একটি বিদ্যালয়ের ৫ম শ্রেণির শিক্ষার্থীর মধ্যে 50 জন ছাত্রী এবং 3 0 জন ছাত্র । ছাত্র ও ছাত্রীর অনুপাত=30 ∶50 তাহলে দেখা যাচ্ছে যে উভয় ক্ষেত্রেই তাদের একক একই ।প্রথম ক্ষেত্রে দুটিই ছিল ওজনের পরিমাণ এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রে দুটিই ছিল সংখ্যার পরিমাণ। ভগ্নাংশের যেমন লব ও হর থাকে ঠিক একইভাবে অনুপাতে ও পূর্ব রাশি এবং উত্তর রাশি থাকে। এখানে, ছাত্র ও ছাত্রীর অনুপাত=30 ∶50 অনুপাতের ক্ষেত্রে ১ম রাশিকে পূর্ব রাশি এবং ২য় রাশিকে উত্তর রাশি বলা হয়। পূর্ব রাশি=30 এবং উত্তর রাশি=50 500 মিটার কাপড়কে দুইজন ব্যাক্তির মধ্যে 3 ∶7 অনুপাতে ভাগ করলে কি হবে? মোট কাপড়ের পরিমাণ 500 মিটার যাকে আমরা প্রদত্ত 3 ∶7 অনুপাতে ভাগ করবো। যেহেতু মোট কাপড়ের পরিমাণ দেওয়া আছে তাই প্রথমেই অনুপাতের সমষ্টি ...
আরও পড়ুন

দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equation)

-
ছবি
 দ্বি  মানে দুই আর ঘাত মানে শক্তি,পাওয়ার, সূচক তাহলে দ্বিঘাত সমীকরণ মানে হচ্ছে যে সমীকরণের চলকের পাওয়ার সর্বোচ্চ দুই সেটি হচ্ছে দ্বিঘাত সমীকরণ।  এই সমীকরণে চলক একটি থাকে। তাহলে বলা যায়, এক চলক বিশিষ্ট যে সমীকরণে চলকের সর্বোচ্চ পাওয়ার 2 তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলে।  যেমনঃ$$2x^2+5x+2=0$$ $$-9x+4x^2+3=0$$ $$7p^2+8p+3=0$$ একটি আদর্শ দ্বিঘাত সমীকরণ ঃ$$ax^2+bx+c=0$$ যেখানে,x চলক ও a,b,c ধ্রবক এবং a≠0,অর্থাৎ a এর মান শূণ্য নয়। a এর মান যদি শূন্য হয় তাহলে সমীকরণটি হবে $$0✕x^2+bx+c=0$$ $$⇒0+bx+c=0$$ $$⇒bx+c=0$$ যা আর দ্বিঘাত সমীকরণ থাকে না।তখন এটি এক চলক বিশিষ্ট সরল সমীকরণের রূপান্তরিত হয় ।তাই a এর মান কখনোই 0 হতে পারবেনা। এখন আমরা আদর্শ দ্বিঘাত সমীকরণ $$ax^2+bx+c=0$$ কে সমাধান করব। সমাধানঃপ্রদত্ত সমীকরণ  $$ax^2+bx+c=0$$ এই সমীকরণে x এর পাওয়ার হচ্ছে 2. তাহলে আমাদেরকে $$x^2$$ এর সাথে যে a আছে হয় এর উ...
আরও পড়ুন

ত্রিভুজ(Triangle)

-
ছবি
  চিত্র গুলোর বৈশিষ্ট্য কী? প্রতিটি চিত্রে ৩টি করে বাহু রয়েছ।বাহু গুলো দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্র তৈরি হয়েছে। চিত্র গুলোর নাম ক? চিত্রগুলো প্রত্যেকটি এক একটি ত্রিভুজ ।তাহলে আমরা বলতে পারি, তিনটি বাহু দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রকে ত্রিভুজ বলে। দুইটি বাহু যে বিন্দুতে মিলিত হয়েছে তাদেরকে সাধারণ বিন্দু বলা হয়। আর এ সাধারণ বিন্দুকে শীর্ষবিন্দু বলা হয়।  উপরোক্ত চিত্রে দেখা যাচ্ছে যে প্রতিটি ত্রিভুজ একটা থেকে আরেকটা ভিন্ন ভিন্ন । এই যে ভিন্ন ভিন্ন ত্রিভুজ এদের নামও ভিন্ন ভিন্ন রয়েছে । যেমন বাহু ভেদে ভিন্নতা রয়েছে তেমনি কোণ ভেদেও ভিন্নতা আছে । বাহু ভেদে ত্রিভুজ তিন প্রকার ।যথা:১। সমবাহু ত্রিভুজ                                                                  ২। সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ  ও                             ...
আরও পড়ুন

চতুর্ভূজ(Quadrilateral)

-
ছবি
চতুর্ভূজ(Quadrilateral) চতুর্ভূজ মানে হলো চারটি বাহু। চারটি বাহু থাকলেই কি চতুর্ভূজ বলা যাবে? না।বলা যাবেনা কারণ চারটি বাহু এলোমেলো ভাবে থাকলে তা কখনোই চতুর্ভূজ হবেনা। তাহলে চতুর্ভুজ হতে হলে চারটি বাহু থাকতে হবে এবং চারটি বাহু দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্র তৈরি হতে হবে । চতুর্ভুজ এর সংজ্ঞাঃ চারটি বাহু দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রকে চতুর্ভুজ বলে। চারটি বাহু দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের আকৃতির ভিন্নতার কারণে বিভিন্ন ধরনের চতুর্ভুজ উৎপন্ন হয় ।এর এক একটি এক এক নামে অভিহিত । এর মধ্যে আছে সামন্তরিক, আয়ত,বর্গ, রম্বস, ঘুড়ি ও ট্রাপিজিয়াম।যেকোনো চতুর্ভূজের চার কোণের যোগফল 360° অর্থাৎ চার সমকোণ। নির্দিষ্ট একটি চতুর্ভুজ আঁকতে গেলে নিম্নোক্ত পাঁচটি উপাত্ত থাকা প্রয়োজন-  দুইটি কর্ণ ও তিনটি বাহু দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ চারটি বাহু ও একটি কোণ  একটি কর্ণ ও চারটি বাহু  তিনটি বাহু ও এই তিনটি বাহুর অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ  তবে কিছু কিছু ক্ষেত্রে এর চেয়ে কম উপাত্ত দিয়েও চতুর্ভুজ আঁকা যায় যেমনঃ সামন্তরিক, আয়ত,বর্গ ও রম্বস। সামান্তরিক( Parallelogram) : যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সম...
আরও পড়ুন

বৃত্ত(Circle)

-
ছবি
  খাবার প্লেট, হাতের চুড়ি, পয়সা, বোতলের ছিপি, সিডি ডিস্ক, ডিভিডি ডিস্ক এগুলো কি আকৃতির?এইগুলো প্রতিটি গোলাকার।এই গোলাকার বস্তুগুলোকেই আমরা বৃত্তাকার বলতে পারি । এটি একটি বৃত্ত। যার অভ্যন্তরে এমন একটি বিন্দু আছে সেই বিন্দু থেকে একটি বক্ররেখা অঙ্কিত হলে বক্ররেখার প্রতিটি বিন্দুর দূরত্ব ঐ নির্দিষ্ট বিন্দু এর দূরত্ব এর সমান হবে। কোন সমতলে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুকে কেন্দ্র করে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রেখে যে বক্ররেখা অঙ্কন করা হয় তাকে বৃত্ত বলে ।বিকল্পভাবে বলতে পারি, বক্ররেখার অভ্যন্তরে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুকে কেন্দ্র করে বক্ররেখার প্রতিটি বিন্দুর দূরত্ব যদি সমান হয় তবে সেই বক্ররেখাকে বৃত্ত বলে ।   চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র। যার সাপেক্ষে সমগ্র বক্ররেখাটি অঙ্কিত হয় তাকে কেন্দ্র বলে । নির্দিষ্ট বিন্দুকে কেন্দ্র করে যে বক্ররেখাটি অঙ্কিত হয়েছে এই সমগ্র রেখাটিকে পরিধি বলে। কেন্দ্র এবং পরিধির যেকোনো বিন্দুর সংযোজক রেখাংশকে ব্যাসার্ধ বলে।চিত্রে OA ব্যাসার্ধ। পরিধির যেকোনো দুই বিন্দুর যোগফল যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে ঐ রেখাংশকে ব্যাস বলে।  চিত্রে PQ রেখাংশটি O কেন্দ্র গিয়েছে তাই ...
আরও পড়ুন