সূচক (Exponent)

গণিতে সূচক (Exponent) কী?

সূচক হলো এমন একটি গাণিতিক পদ্ধতি যার মাধ্যমে একই সংখ্যার বার বার গুণকে সংক্ষিপ্তভাবে প্রকাশ করা হয়।

সহজ ভাষায় বলতে গেলে, একই সংখ্যাকে বারবার গুণ করার সংক্ষিপ্ত রূপই হলো সূচক।

উদাহরণ:৩×৩×৩×৩×৩×৩=৭২৯

এখানে ৩ সংখ্যাটি ছয়বার গুণ করা হয়েছে। একে সূচকের সাহায্যে লেখা যায়:$$৩^৬$$

এখানে,৩ হলো ভিত্তি (Base) এবং

৬ হলো সূচক বা ঘাত বা শক্তি (Exponent/Power)

অর্থাৎ, $$৩^৬$$ বলতে বোঝায় ৩ সংখ্যাটিকে ৬ বার গুণ করা হয়েছে।

যেমন,যদি বলা হয় ৬-কে পরপর ৫ বার গুণ করতে। তাহলে আমরা লিখবঃ৬×৬×৬×৬×৬=৭৭৭৬

এই পুরো প্রক্রিয়াটিকে গণিতের ভাষায় সংক্ষেপে লেখা হয়: $$৬^৫$$

 এখানে  ৬ এর ওপর যে ৫লেখা হয়েছে, এটিই হলো সূচক বা ঘাত বা শক্তি।এটিকে পড়ার নিয়ম হলোঃ ৬ to the power ৫

সূচকের সাধারণ রূপ হলো:xⁿ

 এখানে,x = ভিত্তি,n = সূচক

 xⁿ এর অর্থ:x×x×x×x×x...............×x (n বার)

সূচকের মৌলিক সূত্রাবলী (Fundamental Laws of Exponents)

১।গুণের সূত্র (Product Law):যদি দুটি সূচকীয় রাশির ভিত্তি একই থাকে এবং তারা গুণ আকারে থাকে, তবে তাদের পাওয়ার বা ঘাতগুলো যোগ হয়।

$$a^m \times a^n = a^{m+n}$$

উদাহরণঃ$$৫^৬ \times ৫^২ = ৫^{৬+২}=৫^৮$$

২।ভাগের সূত্র (Quotient Law):যদি দুটি সূচকীয় রাশির ভিত্তি একই থাকে এবং তারা ভাগ আকারে থাকে, তবে তাদের পাওয়ার বা ঘাতগুলো বিয়োগ হয়।

$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$

উদাহরণ:$$\frac{৫^৬}{৫^৩} = ৫^{৬-৩}=৫^৩$$

৩।ঘাতের ঘাত সূত্র (Power of a Power Law):কোনো সূচকীয় রাশির যদি ঘাতের ওপর আবার ঘাত বা পাওয়ার থাকে, তবে পাওয়ার দুটি গুণ হয়।

$$(a^m)^n = a^{m \times n}$$

উদাহরণ:$$(৩^৫)^৬ = ৩^{৫ \times ৬}=৩^{৩০}$$

৪।গুণফলের ঘাত (Power of a Product):আলাদা দুটি ভিত্তির গুণফলের ওপর যদি একটি সাধারণ পাওয়ার থাকে, তবে সেই পাওয়ারটি প্রতিটি ভিত্তির ওপর আলাদাভাবে বসে।

$$(ab)^n = a^n \times b^n$$

উদাহরণ:$$(৫\times ৬)^৮ = ৫^৮ \times ৬^৮$$

৫।শূন্য সূচকের নিয়ম (Zero Exponent):শূন্য ছাড়া যেকোনো সংখ্যার(ধনাত্বক,ঋনাত্বক ও ভগ্নাংশ) ওপর পাওয়ার যদি শূন্য হয়, তবে তার মান সবসময় ১ হবে।

$$p^০ = ১ \quad (\text{where } p \neq ০)$$

উদাহরণ: $$৫^০ = ১$$, $$({১০০০০})^০ = ১$$,$$({-২})^০=১$$

৬।ঋণাত্মক সূচকের নিয়ম (Negative Exponent):কোনো সংখ্যার power যদি ঋণাত্মক হয়, তবে রাশিটি ভগ্নাংশ আকারে নিচে চলে যায় এবং পাওয়ারটি ধনাত্মক হয়ে যায়।

$$a^{-n} = \frac{১}{a^n}$$

উদাহরণ: $$৫^{-৬} = \frac{১}{৫^৬}$$

$$২Χ৫^{-৬} = \frac{২}{৫^৬}$$

৭।ভগ্নাংশ বা মূলীয় সূচক (Fractional Exponent / Root):কোনো সংখ্যার Root বা মূলকে সূচকের ভগ্নাংশ হিসেবে প্রকাশ করা যায়।

$$\sqrt[n]{x} = x^{\frac{১}{n}}$$

$$\sqrt[৫]{a} = a^{\frac{১}{৫}}$$

উদাহরণ: $$\sqrt{m} = m^{\frac{১}{২}}$$ এবং $$\sqrt[৫]{৩২} = (৩২)^{\frac{১}{৫}} = (২^৫)^{\frac{১}{৫}} = ২^১ = ২$$

সূচকের ব্যবহারঃ

বিজ্ঞানে অনেক বড় ও অনেক ছোট সংখ্যা প্রকাশ করার জন্য সূচক ব্যবহৃত হয়।

উদাহরণ:আলোর বেগ ৩০০০০০০০০m/s যা সূচকের আকারে লিখা যায় $$৩X১০^৮ m/s$$

পৃথিবী ও সূর্যের দূরত্ব:$$১.৪৯৬X১০^{১১} m/s$$

কম্পিউটার বিজ্ঞানেও সূচকের গুরুত্ব অনেক।

উদাহরণ:

$$১KB=২^{১০}bytes$$

$$১MB=২^{২০}bytes$$

$$১GB=২^{৩০}bytes$$

$$১TB=২^{৪০}bytes$$


চক্রবৃদ্ধি মুনাফা হিসাব করার সময়।

n তম বছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মূলধন

$$C=P(1+r)^n$$

চক্রবৃদ্ধি মূনাফা

$$=C-P$$

$$=P(1+r)^n-P$$

চক্রবৃদ্ধি মুনাফা সম্পর্কে জানতে ভিজিট করুনঃচক্রবৃদ্ধি মূলধন ও মূনাফা এবং জনসংখ্যা বৃদ্ধি।


মন্তব্যসমূহ

একটি মন্তব্য পোস্ট করুন

এই ব্লগটি থেকে জনপ্রিয় পোস্টগুলি

অনুপাত ও সমানুপাত(Ratio and Proportion)

ছবি
অনুপাত ও সমানুপাত(Ratio and Proportion) একই জাতীয় দুটি রাশির মধ্যে তুলনাকে অনুপাত বলে।অর্থাৎ দুটি রাশির একক একই হবে।তাহলে আমরা বলতে পারি অনুপাত একটি ভগ্নাংশ। ধরা যাক,মিস্টার রহিম বাজার থেকে 5 কেজি চাল এবং 3 কেজি ডাল কিনলেন।এখানে চাল ও ডালের পরিমাণের মধ্যে যে তুলনা এই তুলনায় হচ্ছে অনুপাত। চাল ও ডালের পরিমানের অনুপাত=5 ∶3 একটি বিদ্যালয়ের ৫ম শ্রেণির শিক্ষার্থীর মধ্যে 50 জন ছাত্রী এবং 3 0 জন ছাত্র । ছাত্র ও ছাত্রীর অনুপাত=30 ∶50 তাহলে দেখা যাচ্ছে যে উভয় ক্ষেত্রেই তাদের একক একই ।প্রথম ক্ষেত্রে দুটিই ছিল ওজনের পরিমাণ এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রে দুটিই ছিল সংখ্যার পরিমাণ। ভগ্নাংশের যেমন লব ও হর থাকে ঠিক একইভাবে অনুপাতে ও পূর্ব রাশি এবং উত্তর রাশি থাকে। এখানে, ছাত্র ও ছাত্রীর অনুপাত=30 ∶50 অনুপাতের ক্ষেত্রে ১ম রাশিকে পূর্ব রাশি এবং ২য় রাশিকে উত্তর রাশি বলা হয়। পূর্ব রাশি=30 এবং উত্তর রাশি=50 500 মিটার কাপড়কে দুইজন ব্যাক্তির মধ্যে 3 ∶7 অনুপাতে ভাগ করলে কি হবে? মোট কাপড়ের পরিমাণ 500 মিটার যাকে আমরা প্রদত্ত 3 ∶7 অনুপাতে ভাগ করবো। যেহেতু মোট কাপড়ের পরিমাণ দেওয়া আছে তাই প্রথমেই অনুপাতের সমষ্টি ...
আরও পড়ুন

ত্রিভুজ(Triangle)

ছবি
  চিত্র গুলোর বৈশিষ্ট্য কী? প্রতিটি চিত্রে ৩টি করে বাহু রয়েছ।বাহু গুলো দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্র তৈরি হয়েছে। চিত্র গুলোর নাম ক? চিত্রগুলো প্রত্যেকটি এক একটি ত্রিভুজ ।তাহলে আমরা বলতে পারি, তিনটি বাহু দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রকে ত্রিভুজ বলে। দুইটি বাহু যে বিন্দুতে মিলিত হয়েছে তাদেরকে সাধারণ বিন্দু বলা হয়। আর এ সাধারণ বিন্দুকে শীর্ষবিন্দু বলা হয়।  উপরোক্ত চিত্রে দেখা যাচ্ছে যে প্রতিটি ত্রিভুজ একটা থেকে আরেকটা ভিন্ন ভিন্ন । এই যে ভিন্ন ভিন্ন ত্রিভুজ এদের নামও ভিন্ন ভিন্ন রয়েছে । যেমন বাহু ভেদে ভিন্নতা রয়েছে তেমনি কোণ ভেদেও ভিন্নতা আছে । বাহু ভেদে ত্রিভুজ তিন প্রকার ।যথা:১। সমবাহু ত্রিভুজ                                                                  ২। সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ  ও                             ...
আরও পড়ুন

বৃত্ত(Circle)

ছবি
  খাবার প্লেট, হাতের চুড়ি, পয়সা, বোতলের ছিপি, সিডি ডিস্ক, ডিভিডি ডিস্ক এগুলো কি আকৃতির?এইগুলো প্রতিটি গোলাকার।এই গোলাকার বস্তুগুলোকেই আমরা বৃত্তাকার বলতে পারি । এটি একটি বৃত্ত। যার অভ্যন্তরে এমন একটি বিন্দু আছে সেই বিন্দু থেকে একটি বক্ররেখা অঙ্কিত হলে বক্ররেখার প্রতিটি বিন্দুর দূরত্ব ঐ নির্দিষ্ট বিন্দু এর দূরত্ব এর সমান হবে। কোন সমতলে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুকে কেন্দ্র করে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রেখে যে বক্ররেখা অঙ্কন করা হয় তাকে বৃত্ত বলে ।বিকল্পভাবে বলতে পারি, বক্ররেখার অভ্যন্তরে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুকে কেন্দ্র করে বক্ররেখার প্রতিটি বিন্দুর দূরত্ব যদি সমান হয় তবে সেই বক্ররেখাকে বৃত্ত বলে ।   চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র। যার সাপেক্ষে সমগ্র বক্ররেখাটি অঙ্কিত হয় তাকে কেন্দ্র বলে । নির্দিষ্ট বিন্দুকে কেন্দ্র করে যে বক্ররেখাটি অঙ্কিত হয়েছে এই সমগ্র রেখাটিকে পরিধি বলে। কেন্দ্র এবং পরিধির যেকোনো বিন্দুর সংযোজক রেখাংশকে ব্যাসার্ধ বলে।চিত্রে OA ব্যাসার্ধ। পরিধির যেকোনো দুই বিন্দুর যোগফল যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে ঐ রেখাংশকে ব্যাস বলে।  চিত্রে PQ রেখাংশটি O কেন্দ্র গিয়েছে তাই ...
আরও পড়ুন