বর্গমূল(square root)

 বর্গমূল কী?

কোনো সংখ্যাকে ঐ সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তাহলে সেই সংখ্যাকে উক্ত সংখ্যার বর্গমূল বলা হয়।

অর্থাৎ

২×২=৪

তাহলে ৪ এর বর্গমূল হলো ২।

৩×৩=৯

তাহলে ৯ এর বর্গমূল হলো ৩।

গাণিতিকভাবে এটিকে প্রকাশ করা যায়:$$\sqrt{৪}=\sqrt{২\times২}=\sqrt{২^২}=২$$

আবার,$$\sqrt{৯}=\sqrt{৩\times৩}=\sqrt{৩^২}=৩$$

এখানে √ চিহ্নটিকে বলা হয় বর্গমূলের প্রতীক বা বর্গমূলের চিহ্ন (square root)।

বর্গসংখ্যা এবং বর্গমূলের সম্পর্ক

বর্গমূল বুঝতে হলে আগে বর্গসংখ্যা সম্পর্কে ধারণা থাকতে হবে।

যে সংখ্যাকে নিজে দ্বারা গুণ করলে নতুন সংখ্যা তৈরি হয় তাকে বর্গসংখ্যা বলে।

যেমন:

সংখ্যা       বর্গ

১              ১

২              ৪

৩              ৯

৪             ১৬

৫             ২৫

৬             ৩৬

৭             ৪৯

এখন যদি ৬৪ এর বর্গমূল বের করতে চাই:

$$\sqrt{৬৪}=\sqrt{৮\times৮}=\sqrt{৮^২}=৮$$কারণ ৮ × ৮ = ৬৪।

পূর্ণ বর্গ সংখ্যাঃসব সংখ্যার বর্গমূল পূর্ণ সংখ্যা হয় না। যেসব সংখ্যার বর্গমূল পূর্ণ সংখ্যা, সে সংখ্যাদেরকে পূর্ণ বর্গ সংখ্যা বলা হয়।

ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূল কিন্তু বাস্তব সংখ্যা হয় না।এর কোনো বাস্তব মান নেই, কারণ যেকোনো সংখ্যাকে সেই সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে তা সবসময় ধনাত্মক হয়ে যায়। একে কাল্পনিক সংখ্যা বলা হয়, যা i দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

বর্গমূল বের করার সহজ পদ্ধতিসমূহ

গণিতে বিভিন্ন উপায়ে বর্গমূল নির্ণয় করা যায়। এখানে কয়েকটি পদ্ধতি নিয়ে আলোচনা করব।

ক) মৌলিক উৎপাদক পদ্ধতি:

৩২৪ এর বর্গমূল মৌলিক উৎপাদক পদ্ধতি এর সাহায্যে নির্ণয় করি।

 ধাপ ১: প্রথমে সংখ্যাটির মৌলিক উৎপাদক (Prime Factors) বের করি।

৩২৪=২✖২✖৩✖৩✖৩✖৩

ধাপ ২: একই রকম উৎপাদকগুলোকে জোড়ায় জোড়ায় সাজাই।

৩২৪=(২✖২)✖(৩✖৩)✖(৩✖৩)

ধাপ ৩: প্রতি জোড়া থেকে একটি করে সংখ্যা নিয়ে সংখ্যাগুলোকে গুণ করি।

২✖৩✖৩=১৮

ধাপ ৪:প্রাপ্ত গুণফলই হচ্ছে ৩২৪ এর বর্গমূল।

সুতরাং ৩২৪ এর বর্গমূল=১৮

খ) ভাগ পদ্ধতিঃ

৩২৪ এর বর্গমূল ভাগ পদ্ধতি এর সাহায্যে নির্ণয় করি।


ধাপ ১: সংখ্যার ডানদিক থেকে জোড়ায় জোড়ায় দাগ দিই।

৩২৪ হলে, ডানদিকে ১ম জোড়া ২৪



ধাপ ২: ডানদিকে ১ম জোড়া ২৪ নেওয়ার পর ৩ থাকে।৩ এর সাথে জোড়া না থাকয় ৩ এর জন্য এমন একটি সর্বোচ্চ সংখ্যা ১ বেছে নিয়েছি যার বর্গ ৩ সমান বা ছোট হবে।





ধাপ ৩: সাধারণ ভাগের মতো বিয়োগ করি এবং পরের জোড়াটি নিচে নামিয়ে আনি।






ধাপ ৪: ভাজককে দ্বিগুণ করে নতুন ভাজক তৈরি করি এবং প্রক্রিয়াটি পুনরাবৃত্তি করি যতক্ষন না পূর্ণ বর্গসংখ্যার ক্ষেত্রে ভাগশেষ ০ আসে।




                





ধাপ ৪:প্রাপ্ত ভাগফলই হচ্ছে ৩২৪ এর বর্গমূল।

সুতরাং ৩২৪ এর বর্গমূল=১৮

আবার,সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা না হলে,

ধাপ ১: সংখ্যার ডানদিক থেকে জোড়ায় জোড়ায় দাগ দিই।

 সংখ্যাটি ৩৪১২২৪ হলে, ডানদিক থেকে ১ম জোড়া ২৪,২য় জোড়া ১২ ও ৩য় জোড়া ৩৪



ধাপ ২: ডানদিক থেকে ১ম জোড়া ২৪,২য় জোড়া ১২ ও ৩য় জোড়া ৩৪ ।৩৪ এর জন্য এমন একটি সর্বোচ্চ সংখ্যা ৫ বেছে নিয়েছি যার বর্গ ৩৪ এর ছোট।তবে সমান হলেও হবে।



 

ধাপ ৩: সাধারণ বিয়োগের মতো ৩৪ থেকে ২৫ বিয়োগ করি এবং পরের জোড়াটি ১২ নিচে নামিয়ে আনি।




   

 

ধাপ ৪: ভাজক ৫ কে দ্বিগুণ করে নতুন ভাজক ১০ তৈরি করি এবং প্রক্রিয়াটি পুনরাবৃত্তি করি।









ধাপ ৫: প্রক্রিয়াটি পুনরাবৃত্তি করে ভাগশেষ ১৬৮ পাওয়া গেল। এর অর্থ হচ্ছে 341224 সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়। এখন ভাগ করতে গেলে বর্গমূলটি দশমিকে আসবে। দশমিকে ভাগ করার ক্ষেত্রে ৫৮৪ এর ডানে দশমিক দিয়ে ভাগশেষের সাথে জোড়াশূন্য নিয়ে আসতে হবে। এই প্রক্রিয়া ততক্ষণ পর্যন্ত চলমান থাকবে যতক্ষণ না ভাগশেষ ০ আসে। তবে এই প্রক্রিয়া অনন্তকাল ধরে চলতে পারে না তাই দশমিকের পরে চাহিদামত  নিয়ে বাকিটাকে রেখে দিয়ে বর্গমূলটি শেষ করতে হবে।














গ)অনুমান পদ্ধতিঃ৪২ এর বর্গমূল অনুমান করে করতে হলে।

৪২ এর পূর্ববর্তী পূর্ণবর্গ সংখ্যা ৩৬ যার বর্গমূল =$$\sqrt{৩৬}=\sqrt{৬\times৮}=\sqrt{৬^২}=৬$$

৪২ এর পরবর্তী পূর্ণবর্গ সংখ্যা ৪৯ যার বর্গমূল =$$\sqrt{৪৯}=\sqrt{৭\times৭}=\sqrt{৭^২}=৭$$

তাহলে দেখা যাচ্ছে যে,৪২ এর পূর্ববর্তী পূর্ণবর্গ সংখ্যা ও পরবর্তী পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল যথাক্রমে ৬ ও ৭।

তাই ৪২ এর বর্গমূল ৬ ও ৭ এর মধ্যে হবে।

ঘ)ক্যালকুলেটরের সাহায্যে

বর্তমানে মোবাইল ও কম্পিউটারের ক্যালকুলেটরে সহজেই বর্গমূল নির্ণয় করা যায়। 

বাস্তব জীবনে বর্গমূলের ব্যবহার

আমদের অনেকের প্রশ্ন আছে, "বাস্তব জীবনে বর্গমূল শিখে আমার কী লাভ?"।আসলে উত্তর হলো, আমাদের মনের অজান্তেই আমরা প্রতিদিন বর্গমূলের ব্যবহার করছি।

বর্গাকার ঘর বা জমির পরিমাপ: ধরুন আপনার কাছে যদি একটি বর্গাকার জমি থাকে যার ক্ষেত্রফল ১৬০০ বর্গফুট, তবে তার একটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত? এর উত্তরটি পেতে হলে আমাদেরকে  বর্গমূল করে বের করতে হবে।  

১৬০০ এর বর্গমূল=$$\sqrt{১৬০০}=\sqrt{৪০\times৪০}=\sqrt{৪০^২}=৪০$$

সুতরাং এক বাহুর দৈর্ঘ্য=৪০ ফুট

এভাবে বর্গমূল ব্যবহৃত হয়-স্থাপত্য ও প্রকৌশল,কম্পিউটার গ্রাফিক্স ও গেম ডেভেলপমেন্ট,অর্থনীতি ও পরিসংখ্যান,পদার্থবিজ্ঞান,কম্পিউটার বিজ্ঞান,গ্রাফিক্স ডিজাইন, গেম ডেভেলপমেন্ট,মেশিন লার্নিংয়,ব্যাংকিং ও অর্থনীতিতে।

মন্তব্যসমূহ

একটি মন্তব্য পোস্ট করুন

এই ব্লগটি থেকে জনপ্রিয় পোস্টগুলি

অনুপাত ও সমানুপাত(Ratio and Proportion)

ছবি
অনুপাত ও সমানুপাত(Ratio and Proportion) একই জাতীয় দুটি রাশির মধ্যে তুলনাকে অনুপাত বলে।অর্থাৎ দুটি রাশির একক একই হবে।তাহলে আমরা বলতে পারি অনুপাত একটি ভগ্নাংশ। ধরা যাক,মিস্টার রহিম বাজার থেকে 5 কেজি চাল এবং 3 কেজি ডাল কিনলেন।এখানে চাল ও ডালের পরিমাণের মধ্যে যে তুলনা এই তুলনায় হচ্ছে অনুপাত। চাল ও ডালের পরিমানের অনুপাত=5 ∶3 একটি বিদ্যালয়ের ৫ম শ্রেণির শিক্ষার্থীর মধ্যে 50 জন ছাত্রী এবং 3 0 জন ছাত্র । ছাত্র ও ছাত্রীর অনুপাত=30 ∶50 তাহলে দেখা যাচ্ছে যে উভয় ক্ষেত্রেই তাদের একক একই ।প্রথম ক্ষেত্রে দুটিই ছিল ওজনের পরিমাণ এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রে দুটিই ছিল সংখ্যার পরিমাণ। ভগ্নাংশের যেমন লব ও হর থাকে ঠিক একইভাবে অনুপাতে ও পূর্ব রাশি এবং উত্তর রাশি থাকে। এখানে, ছাত্র ও ছাত্রীর অনুপাত=30 ∶50 অনুপাতের ক্ষেত্রে ১ম রাশিকে পূর্ব রাশি এবং ২য় রাশিকে উত্তর রাশি বলা হয়। পূর্ব রাশি=30 এবং উত্তর রাশি=50 500 মিটার কাপড়কে দুইজন ব্যাক্তির মধ্যে 3 ∶7 অনুপাতে ভাগ করলে কি হবে? মোট কাপড়ের পরিমাণ 500 মিটার যাকে আমরা প্রদত্ত 3 ∶7 অনুপাতে ভাগ করবো। যেহেতু মোট কাপড়ের পরিমাণ দেওয়া আছে তাই প্রথমেই অনুপাতের সমষ্টি ...
আরও পড়ুন

ত্রিভুজ(Triangle)

ছবি
  চিত্র গুলোর বৈশিষ্ট্য কী? প্রতিটি চিত্রে ৩টি করে বাহু রয়েছ।বাহু গুলো দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্র তৈরি হয়েছে। চিত্র গুলোর নাম ক? চিত্রগুলো প্রত্যেকটি এক একটি ত্রিভুজ ।তাহলে আমরা বলতে পারি, তিনটি বাহু দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রকে ত্রিভুজ বলে। দুইটি বাহু যে বিন্দুতে মিলিত হয়েছে তাদেরকে সাধারণ বিন্দু বলা হয়। আর এ সাধারণ বিন্দুকে শীর্ষবিন্দু বলা হয়।  উপরোক্ত চিত্রে দেখা যাচ্ছে যে প্রতিটি ত্রিভুজ একটা থেকে আরেকটা ভিন্ন ভিন্ন । এই যে ভিন্ন ভিন্ন ত্রিভুজ এদের নামও ভিন্ন ভিন্ন রয়েছে । যেমন বাহু ভেদে ভিন্নতা রয়েছে তেমনি কোণ ভেদেও ভিন্নতা আছে । বাহু ভেদে ত্রিভুজ তিন প্রকার ।যথা:১। সমবাহু ত্রিভুজ                                                                  ২। সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ  ও                             ...
আরও পড়ুন

দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equation)

ছবি
 দ্বি  মানে দুই আর ঘাত মানে শক্তি,পাওয়ার, সূচক তাহলে দ্বিঘাত সমীকরণ মানে হচ্ছে যে সমীকরণের চলকের পাওয়ার সর্বোচ্চ দুই সেটি হচ্ছে দ্বিঘাত সমীকরণ।  এই সমীকরণে চলক একটি থাকে। তাহলে বলা যায়, এক চলক বিশিষ্ট যে সমীকরণে চলকের সর্বোচ্চ পাওয়ার 2 তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলে।  যেমনঃ$$2x^2+5x+2=0$$ $$-9x+4x^2+3=0$$ $$7p^2+8p+3=0$$ একটি আদর্শ দ্বিঘাত সমীকরণ ঃ$$ax^2+bx+c=0$$ যেখানে,x চলক ও a,b,c ধ্রবক এবং a≠0,অর্থাৎ a এর মান শূণ্য নয়। a এর মান যদি শূন্য হয় তাহলে সমীকরণটি হবে $$0✕x^2+bx+c=0$$ $$⇒0+bx+c=0$$ $$⇒bx+c=0$$ যা আর দ্বিঘাত সমীকরণ থাকে না।তখন এটি এক চলক বিশিষ্ট সরল সমীকরণের রূপান্তরিত হয় ।তাই a এর মান কখনোই 0 হতে পারবেনা। এখন আমরা আদর্শ দ্বিঘাত সমীকরণ $$ax^2+bx+c=0$$ কে সমাধান করব। সমাধানঃপ্রদত্ত সমীকরণ  $$ax^2+bx+c=0$$ এই সমীকরণে x এর পাওয়ার হচ্ছে 2. তাহলে আমাদেরকে $$x^2$$ এর সাথে যে a আছে হয় এর উ...
আরও পড়ুন