ত্রিকোণমিতি(trigonometry)
শিক্ষার্থীরা গণিত অনুশীলন করার ক্ষেত্রে ত্রিকোণমিতি শব্দটি শুনলেই অনেকের মাথায় শুধু একগাদা সূত্রের জটলা পাকিয়ে যায়। সাইন ($\sin$),কোসেক($cosec$),কস($\cos$),সেক($\sec$),ট্যান ($\tan$), কট ($\cot$), -এর ব্যবহার প্রকৌশলবিদ্যা, স্থাপত্যশিল্প, নেভিগেশন থেকে শুরু করে সাধারণ ভূমি পরিমাপ সবখানেই রয়েছে।
আমরা জানবো কীভাবে ত্রিকোণমিতির সূত্র ব্যবহার করে কোনো
গাছের উচ্চতা, নদীর প্রস্থ নিখুঁতভাবে মাপা যায়।
ত্রিকোণমিতিতে উচ্চতা ও দূরত্বের মূল ধারণা
যেকোনো গাণিতিক সমস্যা সমাধানের আগে তার পেছনের মূল
তত্ত্বটি জানা জরুরি। উচ্চতা ও দূরত্ব সম্পর্কিত অংকগুলো মূলত উন্নতি কোণ, অবনতি কোণ ও অনুপাতের সঠিক ব্যবহার বিষয়ের ওপর দাঁড়িয়ে থাকে-
|
উন্নতি কোণ |
|
অবনতি কোণ |
অবনতি কোণ:কোনো উঁচু স্থান থেকে নিচের কোনো বিন্দুকে দেখার সময় ভূমির সমান্তরাল রেখার সাথে নিচের দিকে যে কোণ তৈরি হয়, তাকে অবনতি কোণ বলে।
নমুনা সমস্যা ১: নদীর প্রস্থ ও গাছের
উচ্চতা নির্ণয়
প্রশ্ন:একটি নদীর তীরে দাঁড়িয়ে এক ব্যক্তি দেখলেন যে, ঠিক বিপরীত তীরে
অবস্থিত একটি গাছের শীর্ষের উন্নতি কোণ $60^\circ$। তিনি তীর থেকে পিছনের দিকে $20$ মিটার পিছিয়ে
গিয়ে দেখলেন যে, গাছটির
শীর্ষের উন্নতি কোণ $30^\circ$
হয়। গাছটির উচ্চতা এবং নদীটির প্রস্থ নির্ণয় করো।
সমাধান করার পদ্ধতি:
যেকোনো জ্যামিতিক বা ত্রিকোণমিতিক সমস্যা সমাধানের প্রথম শর্ত হলো একটি চিত্র এঁকে নেওয়া।
প্রশ্ন বিশ্লেষণ করে উপযুক্ত চিত্র
তৈরিঃ
মনে করি,
নদীটির
বিপরীত তীরে অবস্থিত গাছটির উচ্চতা, $AB = h$ মিটার।
নদীটির
আদি প্রস্থ, $BC = x$ মিটার।
নদীর তীরে নদীর ঠিক বিপরীত বিন্দু $C$-তে গাছের শীর্ষের উন্নতি কোণ $\angle ACB = 60^\circ$।
ব্যক্তিটি $C$ বিন্দু থেকে সোজা পিছনের দিকে $D$ বিন্দুতে $20$ মিটার পিছিয়ে গেলেন। অর্থাৎ, $CD = 20$ মিটার।
নতুন $D$ বিন্দুতে উন্নতি কোণ, $\angle ADB = 30^\circ$।
অতএব, বর্ধিত সম্পূর্ণ ভূমির দৈর্ঘ্য, $BD = BC + CD = (x + 20)$ মিটার।
প্রথম সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABC$ থেকে মান বের করা
আমরা প্রথমে ছোট সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABC$ নিয়ে কাজ করব। এখানে লম্ব $AB$ এবং ভূমি $BC$।
আমরা জানি,
$$or,\tan 60^\circ = \frac{AB}{BC}$$
আমরা জানি, $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$।
সুতরাং:
$$\sqrt{3} =
\frac{h}{x}$$
$$or,h=x√3..............(1)$$
দ্বিতীয় সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABD$ থেকে সমীকরণ গঠন
এখন সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABD$ নিয়ে কাজ করব,
যার ভূমি হলো $BD$।
$$\tan
30^\circ = \frac{AB}{BD}$$
আমরা জানি, $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$ এবং $BD = x + 20$। মানগুলো
বসিয়ে পাই:
$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x + 20}$$
$$or,h√3=x+20..............(2)$$
এখন ১ নং সমীকরণ থেকে $h$-এর মানটি ২ নং সমীকরণে বসিয়ে দিই:
$$or,(x\sqrt{3})
\cdot \sqrt{3} = x + 20$$
$$or,3x = x + 20
\quad [\because \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3]$$
$$or,3x - x =
20$$
$$or,2x = 20$$
$$or,x = 10$$
নদীটির প্রস্থ হলো 10 মিটার।
এবার $x = 10$ মানটি ১ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$$h =
10\sqrt{3}$$
আমরা জানি, $\sqrt{3}$-এর মান প্রায় $1.732$।
বা,h=10✕1.732
বা,h =17.31
গাছটির উচ্চতা হলো 17.32 মিটার (প্রায়)।
নমুনা সমস্যা ২:একটি খুঁটির উচ্চতা 18 মিটার। সূর্যের উন্নতি কোণ কত হলে খুঁটিটির ছায়ার দৈর্ঘ্য $18\sqrt{3}$ মিটার হবে? এবং যদি সূর্যের উন্নতি কোণ পরিবর্তন হয়ে $45^\circ$ হয়, তবে ছায়ার দৈর্ঘ্য আগের চেয়ে কত কম বা বেশি হবে?
সমাধান:প্রদত্ত প্রশ্নটিতে দুটি অংশ রয়েছে। আমরা দুটি অংশই আলাদাভাবে ধাপে ধাপে সমাধান করব।
১ম অংশের সমাধান: সূর্যের আদি উন্নতি কোণ নির্ণয়
ধরি, খুঁটিটির উচ্চতা, $AB = 18$ মিটার।
খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য, $BC = 18\sqrt{3}$ মিটার।
মনে করি, সূর্যের আদি উন্নতি কোণ = $\theta$
এখানে লম্ব এবং ভূমির মান দেওয়া আছে। আমরা $\tan$ এর সূত্র ব্যবহার করব:
সমাধান:প্রদত্ত প্রশ্নটিতে দুটি অংশ রয়েছে। আমরা দুটি অংশই আলাদাভাবে ধাপে ধাপে সমাধান করব।
১ম অংশের সমাধান: সূর্যের আদি উন্নতি কোণ নির্ণয়
ধরি, খুঁটিটির উচ্চতা, $AB = 18$ মিটার।
খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য, $BC = 18\sqrt{3}$ মিটার।
মনে করি, সূর্যের আদি উন্নতি কোণ = $\theta$
আমরা $\tan$ এর সূত্র ব্যবহার করব:
$$or,\tan \theta = \frac{AB}{BC}$$
$$or,\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$$
আমরা জানি, $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$$or,\tan \theta = \tan 30^\circ$$
$$or,\theta = 30^\circ$$
সূর্যের আদি উন্নতি কোণ $30^\circ$
২য় অংশের সমাধান:
কোণ $45^\circ$ হলে ছায়ার দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন
নতুন উন্নতি কোণ, $\angle ADB = 45^\circ$।
নতুন ছায়ার দৈর্ঘ্য ধরি $BD = X$ মিটার।
⃤ ABD সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই:
$$\tan 45^\circ = \frac{AB}{BD}$$
আমরা জানি, $\tan 45^\circ = 1$
$$or,1 = \frac{18}{X}$$
$$or,X =18$$
অর্থাৎ, নতুন ছায়ার দৈর্ঘ্য হবে $18$ মিটার।
পূর্বের ছায়ার দৈর্ঘ্য ছিল $18\sqrt{3}$ মিটার $\approx 18 \times 1.732 = 31.176$ মিটার।নতুন ছায়ার দৈর্ঘ্য হবে $18$ মিটার।
∴ছায়ার দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন অর্থাৎ দৈর্ঘ্য হ্রাস পেয়েছে $= 31.176 - 18 = 13.176$ মিটার (প্রায়)।
মন্তব্যসমূহ