অসমতা(inequality)

-

অসমতার জাদুকরী দুনিয়া

আমরা যখনই গণিতের কথা চিন্তা করি, তখনই আমাদের মাথায় সবার আগে আসে সমান চিহ্ন অর্থাৎ ইকুয়াল সাইন (=)।ছোটবেলা থেকেই আমাদের শেখানো হয় কীভাবে সমীকরণের (Equations) দুই পাশ মেলাতে হয়। কিন্তু বাস্তব জীবনে এই সমান চিহ্নের বাহিরেও অনেক কিছু আছে যেটি সমান না হয়ে বড় কিংবা ছোট হতে পারে ।

বাস্তব জীবন দাঁড়িয়ে আছে লাভ-ক্ষতি,ছোট-বড়,কম-বেশি কিংবা সর্বোচ্চ - সর্বনিম্ন সীমার ওপর। যেমন:বাচ্চাকে প্রথম শ্রেণিতে ভর্তি করতে হলে বয়স কমপক্ষে ৬ বছর হতে হবে।পার্কে প্রবেশ করতে গেলে লিখা থাকে ৫ বছরে অধিক বাচ্চাদের জন্য টিকেট নিতে হবে।এই লিফটে সর্বোচ্চ ৮ জন উঠতে পারবে।

অসমতাঃগণিতের ভাষায়, যখন দুটি রাশির ছোট-বড় বা কম-বেশির সম্পর্ককে প্রকাশ করা হয়, তাকেই বলা হয় অসমতা।সহজ কথায়,যখন দুটি গাণিতিক রাশি বা মান একে অপরের সমান না হয়ে একটি অপরটি থেকে ছোট কিংবা বড় অথবা,কম কিংবা অধিক হয়, তখন তাদের মধ্যকার সম্পর্ককে অসমতা বলা হয়।

অসমতার মৌলিক প্রতীকসমূহঃ

১।$>$ (Greater Than - অপেক্ষা বড়):বাম পাশের রাশিটি ডান পাশের রাশির চেয়ে বড়। যেমন:$2>1$।

২।$\ge$ (Greater Than or Equal To - বড় অথবা সমান):বাম পাশের রাশিটি ডান পাশের রাশির চেয়ে বড় হতে পারে অথবা সমান ও হতে পারে। একে‘কমপক্ষে’ বা ‘সর্বনিম্ন’ বোঝাতে ব্যবহার করা হয়। যেমন:আহনাফের বয়স $\ge9$।

৩।$<$ (Less Than - অপেক্ষা ছোট):বাম পাশের রাশিটি ডান পাশের রাশির চেয়ে ছোট। যেমন:$7<9$।

৪।$\le$ (Less Than or Equal To - ছোট অথবা সমান): বাম পাশের রাশিটি ডান পাশের রাশির চেয়ে ছোট হতে পারে অথবা সমান ও হতে পারে।একে‘সর্বোচ্চ’ বা ‘অনূর্ধ্ব’ বোঝাতে ব্যবহার করা হয়। যেমন:$x\le8$

৫।$\neq$ (Not Equal To - সমান নয়):দুটি রাশি একে অপরের সমান নয়, তবে কোনটি বড় বা কোনটি ছোট তা এখানে নির্দিষ্ট করা থাকে না। যেমন:$p\neq8$

অসমতাকে প্রকাশ করার জন্য উপরোক্ত এই($>$,$\ge$,$<$,$\le$,$\neq$)পাঁচটি প্রধান প্রতীক ব্যবহার করা হয়। এই প্রতীকগুলো সম্পর্কে ভালোভাবে জানলে অসমতার অঙ্ক সহজে রপ্ত করা যায়।

প্রতীক মনে রাখার সহজ কৌশল:প্রতীকগুলোর হা-করা মুখটি সবসময় বড় সংখ্যার দিকে থাকে।যেমনঃবড়>ছোট,ছোট<বড় অর্থাৎ বড়টি সবসময় খোলা দিকে থাকবে এবং ছোটটি বন্ধদিকে থাকবে।

অসমতার প্রকারভেদঃ

১।রৈখিক অসমতা (Linear Inequalities)

২।দ্বিঘাত বা বহুপদী অসমতা (Quadratic or Polynomial Inequalities)

৩।পরমমান অসমতা (Absolute Value Inequalities)

রৈখিক অসমতাঃযেসব অসমতায় চলকের সর্বোচ্চ ঘাত বা পাওয়ার এক থাকে, সেগুলোকে রৈখিক অসমতা বলে। যেমনঃ$3x-4y>5$।এই টাইপের অসমতার সমাধান করা এবং গ্রাফ পেপারে আঁকা সহজ কারণ রৈখিক অসমতা এর লেখচিত্র সরলরেখা।

দ্বিপদী বা বহুপদী অসমতাঃযখন চলকের ঘাত দুই হয়, তখন তাকে দ্বিপদী অসমতা বলা হয় এবং চলকের ঘাত দুই এর চেয়ে বেশি হলে,তখন তাকে বহুপদী অসমতা বলা হয় ।যেমনঃ$x^2-3x-40>0$।এই টাইপের অসমতার সমাধান করার জন্য সংখ্যা রেখা এবং ক্রিটিক্যাল পয়েন্ট পদ্ধতির সাহায্য নিতে হয়।দ্বিপদী বা বহুপদী অসমতা এর লেখচিত্র বক্ররেখা।

পরমমান অসমতাঃচলক যখন পরমমান চিহ্নের ($\vert{}x\vert{}$) ভেতরে থাকে, তখন তাকে পরমমান অসমতা বলে।যেমন:$|x-3|>5$।


                                                    চলমান

মন্তব্যসমূহ

একটি মন্তব্য পোস্ট করুন

এই ব্লগটি থেকে জনপ্রিয় পোস্টগুলি

অনুপাত ও সমানুপাত(Ratio and Proportion)

-
ছবি
অনুপাত ও সমানুপাত(Ratio and Proportion) একই জাতীয় দুটি রাশির মধ্যে তুলনাকে অনুপাত বলে।অর্থাৎ দুটি রাশির একক একই হবে।তাহলে আমরা বলতে পারি অনুপাত একটি ভগ্নাংশ। ধরা যাক,মিস্টার রহিম বাজার থেকে 5 কেজি চাল এবং 3 কেজি ডাল কিনলেন।এখানে চাল ও ডালের পরিমাণের মধ্যে যে তুলনা এই তুলনায় হচ্ছে অনুপাত। চাল ও ডালের পরিমানের অনুপাত=5 ∶3 একটি বিদ্যালয়ের ৫ম শ্রেণির শিক্ষার্থীর মধ্যে 50 জন ছাত্রী এবং 3 0 জন ছাত্র । ছাত্র ও ছাত্রীর অনুপাত=30 ∶50 তাহলে দেখা যাচ্ছে যে উভয় ক্ষেত্রেই তাদের একক একই ।প্রথম ক্ষেত্রে দুটিই ছিল ওজনের পরিমাণ এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রে দুটিই ছিল সংখ্যার পরিমাণ। ভগ্নাংশের যেমন লব ও হর থাকে ঠিক একইভাবে অনুপাতে ও পূর্ব রাশি এবং উত্তর রাশি থাকে। এখানে, ছাত্র ও ছাত্রীর অনুপাত=30 ∶50 অনুপাতের ক্ষেত্রে ১ম রাশিকে পূর্ব রাশি এবং ২য় রাশিকে উত্তর রাশি বলা হয়। পূর্ব রাশি=30 এবং উত্তর রাশি=50 500 মিটার কাপড়কে দুইজন ব্যাক্তির মধ্যে 3 ∶7 অনুপাতে ভাগ করলে কি হবে? মোট কাপড়ের পরিমাণ 500 মিটার যাকে আমরা প্রদত্ত 3 ∶7 অনুপাতে ভাগ করবো। যেহেতু মোট কাপড়ের পরিমাণ দেওয়া আছে তাই প্রথমেই অনুপাতের সমষ্টি ...
আরও পড়ুন

দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equation)

-
ছবি
 দ্বি  মানে দুই আর ঘাত মানে শক্তি,পাওয়ার, সূচক তাহলে দ্বিঘাত সমীকরণ মানে হচ্ছে যে সমীকরণের চলকের পাওয়ার সর্বোচ্চ দুই সেটি হচ্ছে দ্বিঘাত সমীকরণ।  এই সমীকরণে চলক একটি থাকে। তাহলে বলা যায়, এক চলক বিশিষ্ট যে সমীকরণে চলকের সর্বোচ্চ পাওয়ার 2 তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলে।  যেমনঃ$$2x^2+5x+2=0$$ $$-9x+4x^2+3=0$$ $$7p^2+8p+3=0$$ একটি আদর্শ দ্বিঘাত সমীকরণ ঃ$$ax^2+bx+c=0$$ যেখানে,x চলক ও a,b,c ধ্রবক এবং a≠0,অর্থাৎ a এর মান শূণ্য নয়। a এর মান যদি শূন্য হয় তাহলে সমীকরণটি হবে $$0✕x^2+bx+c=0$$ $$⇒0+bx+c=0$$ $$⇒bx+c=0$$ যা আর দ্বিঘাত সমীকরণ থাকে না।তখন এটি এক চলক বিশিষ্ট সরল সমীকরণের রূপান্তরিত হয় ।তাই a এর মান কখনোই 0 হতে পারবেনা। এখন আমরা আদর্শ দ্বিঘাত সমীকরণ $$ax^2+bx+c=0$$ কে সমাধান করব। সমাধানঃপ্রদত্ত সমীকরণ  $$ax^2+bx+c=0$$ এই সমীকরণে x এর পাওয়ার হচ্ছে 2. তাহলে আমাদেরকে $$x^2$$ এর সাথে যে a আছে হয় এর উ...
আরও পড়ুন

ত্রিভুজ(Triangle)

-
ছবি
  চিত্র গুলোর বৈশিষ্ট্য কী? প্রতিটি চিত্রে ৩টি করে বাহু রয়েছ।বাহু গুলো দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্র তৈরি হয়েছে। চিত্র গুলোর নাম ক? চিত্রগুলো প্রত্যেকটি এক একটি ত্রিভুজ ।তাহলে আমরা বলতে পারি, তিনটি বাহু দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রকে ত্রিভুজ বলে। দুইটি বাহু যে বিন্দুতে মিলিত হয়েছে তাদেরকে সাধারণ বিন্দু বলা হয়। আর এ সাধারণ বিন্দুকে শীর্ষবিন্দু বলা হয়।  উপরোক্ত চিত্রে দেখা যাচ্ছে যে প্রতিটি ত্রিভুজ একটা থেকে আরেকটা ভিন্ন ভিন্ন । এই যে ভিন্ন ভিন্ন ত্রিভুজ এদের নামও ভিন্ন ভিন্ন রয়েছে । যেমন বাহু ভেদে ভিন্নতা রয়েছে তেমনি কোণ ভেদেও ভিন্নতা আছে । বাহু ভেদে ত্রিভুজ তিন প্রকার ।যথা:১। সমবাহু ত্রিভুজ                                                                  ২। সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ  ও                             ...
আরও পড়ুন

চতুর্ভূজ(Quadrilateral)

-
ছবি
চতুর্ভূজ(Quadrilateral) চতুর্ভূজ মানে হলো চারটি বাহু। চারটি বাহু থাকলেই কি চতুর্ভূজ বলা যাবে? না।বলা যাবেনা কারণ চারটি বাহু এলোমেলো ভাবে থাকলে তা কখনোই চতুর্ভূজ হবেনা। তাহলে চতুর্ভুজ হতে হলে চারটি বাহু থাকতে হবে এবং চারটি বাহু দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্র তৈরি হতে হবে । চতুর্ভুজ এর সংজ্ঞাঃ চারটি বাহু দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রকে চতুর্ভুজ বলে। চারটি বাহু দ্বারা আবদ্ধক্ষেত্রের আকৃতির ভিন্নতার কারণে বিভিন্ন ধরনের চতুর্ভুজ উৎপন্ন হয় ।এর এক একটি এক এক নামে অভিহিত । এর মধ্যে আছে সামন্তরিক, আয়ত,বর্গ, রম্বস, ঘুড়ি ও ট্রাপিজিয়াম।যেকোনো চতুর্ভূজের চার কোণের যোগফল 360° অর্থাৎ চার সমকোণ। নির্দিষ্ট একটি চতুর্ভুজ আঁকতে গেলে নিম্নোক্ত পাঁচটি উপাত্ত থাকা প্রয়োজন-  দুইটি কর্ণ ও তিনটি বাহু দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ চারটি বাহু ও একটি কোণ  একটি কর্ণ ও চারটি বাহু  তিনটি বাহু ও এই তিনটি বাহুর অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ  তবে কিছু কিছু ক্ষেত্রে এর চেয়ে কম উপাত্ত দিয়েও চতুর্ভুজ আঁকা যায় যেমনঃ সামন্তরিক, আয়ত,বর্গ ও রম্বস। সামান্তরিক( Parallelogram) : যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সম...
আরও পড়ুন