অসমতা(inequality)

অসমতার জাদুকরী দুনিয়া

আমরা যখনই গণিতের কথা চিন্তা করি, তখনই আমাদের মাথায় সবার আগে আসে সমান চিহ্ন অর্থাৎ ইকুয়াল সাইন (=)।ছোটবেলা থেকেই আমাদের শেখানো হয় কীভাবে সমীকরণের (Equations) দুই পাশ মেলাতে হয়। কিন্তু বাস্তব জীবনে এই সমান চিহ্নের বাহিরেও অনেক কিছু আছে যেটি সমান না হয়ে বড় কিংবা ছোট হতে পারে ।

বাস্তব জীবন দাঁড়িয়ে আছে লাভ-ক্ষতি,ছোট-বড়,কম-বেশি কিংবা সর্বোচ্চ - সর্বনিম্ন সীমার ওপর। যেমন:বাচ্চাকে প্রথম শ্রেণিতে ভর্তি করতে হলে বয়স কমপক্ষে ৬ বছর হতে হবে।পার্কে প্রবেশ করতে গেলে লিখা থাকে ৫ বছরে অধিক বাচ্চাদের জন্য টিকেট নিতে হবে।এই লিফটে সর্বোচ্চ ৮ জন উঠতে পারবে।

অসমতাঃগণিতের ভাষায়, যখন দুটি রাশির ছোট-বড় বা কম-বেশির সম্পর্ককে প্রকাশ করা হয়, তাকেই বলা হয় অসমতা।সহজ কথায়,যখন দুটি গাণিতিক রাশি বা মান একে অপরের সমান না হয়ে একটি অপরটি থেকে ছোট কিংবা বড় অথবা,কম কিংবা অধিক হয়, তখন তাদের মধ্যকার সম্পর্ককে অসমতা বলা হয়।

অসমতার মৌলিক প্রতীকসমূহঃ

১।$>$ (Greater Than - অপেক্ষা বড়):বাম পাশের রাশিটি ডান পাশের রাশির চেয়ে বড়। যেমন:$2>1$।

২।$\ge$ (Greater Than or Equal To - বড় অথবা সমান):বাম পাশের রাশিটি ডান পাশের রাশির চেয়ে বড় হতে পারে অথবা সমান ও হতে পারে। একে‘কমপক্ষে’ বা ‘সর্বনিম্ন’ বোঝাতে ব্যবহার করা হয়। যেমন:আহনাফের বয়স $\ge9$।

৩।$<$ (Less Than - অপেক্ষা ছোট):বাম পাশের রাশিটি ডান পাশের রাশির চেয়ে ছোট। যেমন:$7<9$।

৪।$\le$ (Less Than or Equal To - ছোট অথবা সমান): বাম পাশের রাশিটি ডান পাশের রাশির চেয়ে ছোট হতে পারে অথবা সমান ও হতে পারে।একে‘সর্বোচ্চ’ বা ‘অনূর্ধ্ব’ বোঝাতে ব্যবহার করা হয়। যেমন:$x\le8$

৫।$\neq$ (Not Equal To - সমান নয়):দুটি রাশি একে অপরের সমান নয়, তবে কোনটি বড় বা কোনটি ছোট তা এখানে নির্দিষ্ট করা থাকে না। যেমন:$p\neq8$

অসমতাকে প্রকাশ করার জন্য উপরোক্ত এই($>$,$\ge$,$<$,$\le$,$\neq$)পাঁচটি প্রধান প্রতীক ব্যবহার করা হয়। এই প্রতীকগুলো সম্পর্কে ভালোভাবে জানলে অসমতার অঙ্ক সহজে রপ্ত করা যায়।

প্রতীক মনে রাখার সহজ কৌশল:প্রতীকগুলোর হা-করা মুখটি সবসময় বড় সংখ্যার দিকে থাকে।যেমনঃবড়>ছোট,ছোট<বড় অর্থাৎ বড়টি সবসময় খোলা দিকে থাকবে এবং ছোটটি বন্ধদিকে থাকবে।

অসমতার প্রকারভেদঃ

১।রৈখিক অসমতা (Linear Inequalities)

২।যৌগিক অসমতা (Compound Inequalities)

৩।দ্বিঘাত বা বহুপদী অসমতা (Quadratic or Polynomial Inequalities)

৪।পরমমান অসমতা (Absolute Value Inequalities)

রৈখিক অসমতাঃযেসব অসমতায় চলকের সর্বোচ্চ ঘাত বা পাওয়ার এক থাকে, সেগুলোকে রৈখিক অসমতা বলে। যেমনঃ$3x-4y>5$।এই টাইপের অসমতার সমাধান করা এবং গ্রাফ পেপারে আঁকা সহজ কারণ রৈখিক অসমতা এর লেখচিত্র সরলরেখা।

যৌগিক অসমতা:যখন দুটি অসমতা একসঙ্গে প্রকাশ করা হয়।

উদাহরণ:$5<x<10$,এখানে x-এর মান 5-এর বড় এবং 10-এর ছোট।

দ্বিপদী বা বহুপদী অসমতাঃযখন চলকের ঘাত দুই হয়, তখন তাকে দ্বিপদী অসমতা বলা হয় এবং চলকের ঘাত দুই এর চেয়ে বেশি হলে,তখন তাকে বহুপদী অসমতা বলা হয় ।যেমনঃ$x^2-3x-40>0$।এই টাইপের অসমতার সমাধান করার জন্য সংখ্যা রেখা এবং ক্রিটিক্যাল পয়েন্ট পদ্ধতির সাহায্য নিতে হয়।দ্বিপদী বা বহুপদী অসমতা এর লেখচিত্র বক্ররেখা।

পরমমান অসমতাঃচলক যখন পরমমান চিহ্নের ($\vert{}x\vert{}$) ভেতরে থাকে, তখন তাকে পরমমান অসমতা বলে।যেমন:$|x-3|>5$।

অসমতা সমাধানের মৌলিক নিয়ম: অসমতার অংক সমাধান করার নিয়মগুলো অনেকটাই সাধারণ সমীকরণের মতো তবে কিছু কিছু ব্যতিক্রম আছে।অসমতা সমাধানের সময় নিম্নোক্ত কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম অবশ্যই মনে রাখতে হবে।

একই সংখ্যা যোগঃঅসমতার উভয় পাশে একই সংখ্যা যোগ করলে অসমতার দিক ও মানের কোন পরিবর্তন হয় না।উদাহরণ:$$x-5<15$$ $$or,x-5+5<15+5$$[উভয়পাশে 5 যোগ করা হয়েছে] $$or,x<20$$

উদাহরণ:$11>2$ যা সত্য।এখন যদি দুই পাশে 5 যোগ করলে হয় $11+5>2+5$ বা,$16>7 যা এখনও সত্য।

একই সংখ্যা বিয়োগঃঅসমতার উভয় পাশে একই সংখ্যা বিয়োগ করলে অসমতার দিক ও মানের কোন পরিবর্তন হয় না।উদাহরণ:$$x+5>15$$ $$or,x+5-5>15-5$$[উভয়পাশে 5 বিয়োগ করা হয়েছে] $$or,x>10$$

উদাহরণঃ10<12 যা সত্য।এখন যদি দুই পাশে (-17) যোগ করলে অর্থাৎ 17 বিয়োগ করলে হয়, 10+(-17)<12+(-17) বা,10-17<12-17 বা,-7<-5 যা এখনও সত্য।

ধনাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগঃঅসমতার উভয় পাশে একই ধনাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে  অসমতার চিহ্ন এর দিকের ও মানের কোন পরিবর্তন হয় না।

উদাহরণ-১ঃ12>8 হয়, তবে দুই পাশে 4 দিয়ে ভাগ করলে পাব 12÷4>8÷4 বা,3>2 যা পুরোপুরি সত্য।

আবার,12>8 হয়, তবে দুই পাশে 4 দিয়ে গুণ করলে পাব 12✕4>8✕4 বা,48>32 যা পুরোপুরি সত্য।

উদাহরণ-১:$$9x+2>8$$$$or,9x+2-2>8-2$$[উভয়পাশে 2 বিয়োগ করা হয়েছে] $$or,9x>6$$$$or,\frac{9x}{9}>\frac{6}{9}$$[উভয়পাশে 9 দ্বারা ভাগ করা হয়েছে]$$or,x>\frac{2}{3}$$

আবার,

উদাহরণ-২:$$\frac{2x}{3}>21$$$$or,\frac{2x}{3}\times 3>21\times 3$$[উভয়পাশে 3 দ্বারা গুণ করা হয়েছে] $$or,2x>63$$$$or,\frac{2x}{2}>\frac{63}{2}$$[উভয়পাশে 9 দ্বারা ভাগ করা হয়েছে]$$or,x>\frac{63}{2}$$

ঋনাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগঃঅসমতার উভয় পাশে একই ঋনাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে  অসমতার চিহ্ন এর দিকের পরিবর্তন হয় অর্থাৎ অসমতার চিহ্ন উল্টে যায়।

আমরা জানি, 8<9। এখন যদি আমরা দুই পাশে -2 দিয়ে গুণ করি এবং চিহ্ন না উল্টে দিই,তবে দাঁড়ায় -16<-18। কিন্তু ঋনাত্মক সংখ্যার ধর্ম আনুসারে -16 বড় এবং -18 ছোট।সুতরাং সঠিক উত্তরটি হবে -16>-18। এজন্যই ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে অসমতার চিহ্নটি উল্টে যায়।

উদাহরণ:$$-11x+2>35$$$$or,-11x+2-2>35-2$$[উভয়পাশে 2 বিয়োগ করা হয়েছে] $$or,-11x>33$$$$or,\frac{-11x}{-11}<\frac{33}{-11}$$[উভয়পাশে -11 দ্বারা ভাগ করা হয়েছে]দেখা যাচ্ছে যে,অসমতার উভয় পাশে একই ঋনাত্মক সংখ্যা -11 দিয়ে ভাগ করার সাথে সাথে অসমতার চিহ্ন এর দিকের পরিবর্তন হয়ে গেছে অর্থাৎ অসমতার চিহ্ন উল্টে গেছে।$$or,-x<-3$$ $$or,(-x)(-1)>(-3)(-1)$$[উভয়পাশে -1 দ্বারা গুণ করা হয়েছে]দেখা যাচ্ছে যে,অসমতার উভয় পাশে একই ঋনাত্মক সংখ্যা -1 দিয়ে গুণ করার সাথে সাথে অসমতার চিহ্ন এর দিকের পরিবর্তন হয়ে গেছে অর্থাৎ অসমতার চিহ্ন উল্টে গেছে।

$$or,x>3$$